Глава 13. Неопределенный интеграл 9
13.1. Неопределенный интеграл и его простейшие свойства 9
13.1.1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. 9
13.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла. 12
13.1.3. Таблица простейших неопределенных интегралов. 13
13.1.4. Непосредственное интегрирование. 14
13.2. Простейшие приложения неопределенного интеграла. 16
13.2.1. Вычисление первообразной функции по заданной ее производной или дифференциалу и частным значениям аргумента и функции. 16
13.2.2. Составление уравнения линии, проходящей через данную точку, по заданному угловому коэффициенту касательной. 16
13.2.3. Составление уравнения движения материальной точки. 17
13.3. Методы интегрирования 19
13.3.1. Интегрирование методом замены переменной (способом подстановки). 19
13.3.2. Метод интегрирования по частям. 29
13.3.3. Интегрирование рациональных дробей. 33
13.3.4. Понятие об интегралах, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции. 36
Вопросы для повторения к главе 13 37
Упражнения к главе 13 28
Ответы, указания и решения к главе 13 39
Глава 14. Определенный интеграл и его приложения 42
14.1. Основные понятия. 42
14.1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 42
14.1.2. Интегральная сумма и определенный интеграл. 44
14.2. Свойства определенного интеграла. 46
14.2.1. Свойства, выражаемые равенствами. 46
14.2.2. Свойства, выражаемые неравенствами. 47
14.2.3. Теорема о среднем. 48
14.3. Интеграл с переменным верхним пределом. 49
14.3.1. Непрерывность интеграла с переменным верхним пределом. 49
14.3.2. Производная от интеграла с переменным верхним пределом. 50
14.3.3. Формула Ньютона — Лейбница. 51
14.4. Методы вычисления определенных интегралов. 53
14.4.1. Непосредственное интегрирование. 53
14.4.2. Замена переменной (способ подстановки). 54
14.4.3. Интегрирование по частям. 58
14.4.4. Приближенные методы вычисления определенных интегралов. 59
14.5. Несобственные интегралы. 69
14.6. Вычисление площадей с помощью определенного интеграла. 69
14.6.1. Две схемы применения определенного интеграла к вычислению различных величин. 69
14.6.2. Площади плоских фигур. 71
14.7. Вычисление объемов. 73
14.7.1. Понятие объема, его основные свойства. 75
14.7.2. Объем прямоугольного и прямого параллелепипеда, прямой призмы и цилиндра. 76
14.7.3. Объем тела с заданными площадями поперечных сечений. 80
14.7.4. Объем наклонней призмы (наклонного цилиндра). 82
14.7.5. Объем пирамиды и усеченной пирамиды. 83
14.7.6. Объем тела вращения. 84
14.7.7. Объем конуса и усеченного конуса. 87
14.7.8. Объем шара и его частей. 89
14.8. Длина дуги и площадь поверхности вращения 92
Длина дуги кривой. Дифференциал дуги. 92
Площадь поверхности вращения. 96
14.8.3. Площадь поверхности сферы, сферического пояса и сферического сегмента. 98
14.9. Другие приложения определенного интеграла. 100
14.9.1. Путь, пройденный телом. 100
14.9.2. Работа переменной силы. 101
14 9.3. Работа, совершаемая при поднятии груза. 103
14.9.4. Давление жидкости. 104
14.9.5. Статические моменты и центр тяжести кривой. 108
14.9.6. Статические моменты и центры тяжести плоских фигур. 111
14.9.7. Моменты инерции. 113
Вопросы для повторения к главе 14. 114
Упражнения к главе 14. 115
Ответы, указания и решения к главе 14. 117
Глава 15. Понятие о векторнозначных функциях и функциях нескольких переменных 118
15.1. Обобщение понятия функции 118
15.1.1. Вводные замечания. 118
15.1.2. Основное определение. 118
15.2.Векторнозначные функции скалярного аргумента. 119
15.2.1. Вектор-функция, ее график и годограф. 119
15.2.2. Предел и непрерывность вектор-функция. Ее дифференцирование и интегрирование. 121
15.3. Функции нескольких переменных 123
15.3.1. Функция двух переменных. Ее график. Частные производные. 123
15.3.2. Полный дифференциал функции двух переменных. 126
15.3.3. Обобщения на случай большего числа переменных. 127
15.3.4. Производная сложной функции. 128
15.3.5. Дифференцирование неявных функций. 129
15.4. Кратные интегралы. 131
15.4.1. Основные понятия. 131
15.4.2. Формула для вычисления двойного интеграла. 133
15.4.3. Вычисление тройного интеграла. 135
Вопросы для повторения к главе. 135
Упражнения к главе 15. 136
Ответы, указания и решения к главе 15. 138
Глава 16. Экстремальные задачи для функций нескольких переменных. 144
16.1. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент. 144
Линии уровня функции двух переменных. 144
Производная по направлению. 144
16.1.3. Градиент функции двух переменных. 147
16.1.4. Замечания для случая трех и большего числа переменных. 148
16.2. Экстремумы функций нескольких переменных. Классический подход к решению экстремальных задач. 149
16.2.1. Основные понятия. 149
16.2.2. Условия существования внутреннего экстремума для функции двух переменных. 150
16.2.3. Классический способ отыскания экстремумов. 152
16.2.4. Случай трех и большего числа переменных. 154
16.3. Линейное программирование. 155
16.3.1. Предварительные примеры. 155
16.3.2. Задачи линейного программирования с ограничениями — неравенствами (случай двух переменных). 158
16.4. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. 160
16.4.1. Основная идея симплекс-метода и его геометрическая интерпретация. 160
16.4.2. Алгоритм симплекс-метода. 163
16.4.3. Симплекс-таблицы и их использование. 165
16.5. Случай трех и большего числа переменных. Понятие о нелинейных экстремальных задачах. 169
16.5.1. Задачи линейного программирования с произвольным количеством переменных. 169
16.5.2. Заключительные замечания об экстремальных задачах. 170
Вопросы для повторения к главе 16. 171
Упражнения к главе 16. 172
Ответы, указания и решения к главе 16. 174
Глава 17. Дифференциальные уравнения. 183
17.1. Введение. 183
17.1.1. Понятие о дифференциальном уравнении. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. 183
17.1.2. Основные понятия: порядок дифференциального уравнения, начальные условия, общее и частное решения, граничные условия. 185
17.2. Дифференциальные уравнения первого порядка. 191
17.2.1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. 191
17.2.2. Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка: равнения с разделяющимися переменными, линейные уравнения. 193
17.3. Дифференциальные уравнения порядка выше первого. 195
17.3.1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 195
17.3.2. Примеры решения дифференциальных уравнений высших порядков. 198
17.4. Метод Эйлера численного интегрирования дифференциального уравнения первого порядка и его геометрическая Интерпретация. 202
Вопросы для повторения к главе 17. 205
Упражнения к главе 17. 205
Ответы, указания и решения к главе 17. 207
Глава 18. Числовые и степенные ряды. 212
18.1. Числовые ряды. 212
18.1.1. Числовой ряд и его сумма. 212
18.1.2. Примеры сходящихся и расходящихся рядов. 213
18.1.3. Простейшие свойства сходящихся рядов. 215
18.2. Признаки сходимости числовых рядов. 218
18.2.1. Необходимый признак сходимости. 219
18.2.2. Признак сравнения и его следствия. Абсолютная сходимость. 219
18.2.3. Признак Даламбера. 222
18.2.4. Признак Лейбница. 224
18.2.5. Интегральный признак сходимости. 226
18.2.6. Примеры исследования рядов на сходимость. Оценки остаточных рядов. 230
18.3. Степенные ряды 232
18.3.1. Понятие о функциональных рядах. 232
18.3.2. Степенные ряды. Структура их областей сходимости. 233
Простейшие свойства степенных рядов. 235
Разложение в степенной ряд In х и arctg х. 236
18.4. Ряды Тейлора. 239
18.4.1. Единственность разложения функции в степенной ряд. 239
18.4.2. Ряд Тейлора. Достаточные условия разложимости. 241
18.4.3. Ряды для sin х, соs х и еx. 242
18.4.4. Решение дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. 244
Вопросы для повторения к главе 18. 246
Упражнения к главе 18. 247
Ответы, указания и решения к главе 18. 249
Глава 19. Ряды Фурье. 253
19.1. Обобщенные полиномы и приближение функций «в среднем». 253
19.1.1. Различные способы оценки «близости» двух функций. 253
19.1.2. Ортогональные и ортонормированные системы функций. 256
19.1.3. Обобщенные полиномы наилучшего приближения. 258
19.1.4. Обобщенные ряды Фурье. 259
19.2. Тригонометрические ряды Фурье. 261
Разложение в тригонометрический ряд Фурье функции, заданной на конечном промежутке. 261
Разложение периодических функций. 262
19.2.3. Разложение в ряды только по синусам и только по косинусам. 261
19.2.4. Примеры разложения функций в тригонометрические ряды Фурье. 266
Вопросы для повторения к главе 19. 268
Упражнения к главе 19. 268
Ответы, указания и решения к главе 19 269
Глава 20. Элементы комбинаторики 272
20.1. Упорядоченные выборки. Перестановки и сочетания. 272
20.1.1. Вводные замечания. 272
20.1.2. Упорядоченные выборки и перестановки. 272
20.1.3. Сочетания. 275
20.2. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля. 277
Формула разложения в сумму степени бинома. 277
Треугольник Паскаля. 278
Вопросы для повторения к главе 20. 279
Упражнения к главе 20. 279
Ответы, указания и решения к главе 20. 280
Глава 21. Элементы теории вероятностей и математической статистики 281
21.1. События, вероятности и действия над ними 281
21.1.1. Введение. 281
21.1.2. События и операции над ними. 284
21.1.3. Классическое определение вероятности. 290
21.1.4. Условная вероятность. Формула полной вероятности и формула Байеса. 293
21.1.5. Общее определение вероятностной функции на конечной алгебре событий. 298
21.2. Случайные величины и функции распределения 302
21.3. Сводные числовые характеристики. Аппроксимация распределений 320
21.2.1. Дискретные случайные величины. 302
21.2.2. Биномиальный закон распределения. 308
21.2.3. Случайные величины (общий случай). 311
21.3.1. Сводные числовые характеристики выборочных и теоретических распределений. 320
21.3.2. Аппроксимация законов распределения. 328
21.3.3. Понятие о законе больших чисел. 330
21.4. Системы случайных величин 332
Совместные распределения случайных величин. 332
Регрессионные зависимости и сводные числовые характеристики совместных распределений. 337
21.4.3. Совместные выборочные распределения и их сводные числовые характеристики. 342
21.4.4. Отыскание регрессионных зависимостей методом наименьших квадратов. 346
Вопросы для повторения к главе 21. 348
Упражнения к главе 21. 351
Ответы, указания и решения к главе 21. 359
Приложение. Таблица значений функции. 366