Предисловие 11
Глава 1. Числовые множества 13
1.1. Вещественные числа 13
1.1 1. Множество рациональных чисел. 13
1.1.2. Необходимость расширения множества рациональных чисел. 17
1.1.3. Множество вещественных чисел. 19
1.1.4. Рациональные и иррациональные числа, их представление при помощи бесконечных десятичных дробей. 21
1.1.5. Абсолютная величина вещественного числа. 22
1.2. Комплексные числа 22
1.2.1. Необходимость дальнейшего расширения понятия числа. 29
1.2.2. Комплексные числа. 25
1.2.3. Геометрическое изображение комплексных чисел. 27
Вопросы для повторения к главе 1
Глава 2. Множества и функции 30
2.1. Множества 30
2.1.1. Основные понятия и определения. 30
2.1.2. Интервалы 32
2.1.3. Объединение множеств. 33
2.1.4. Пересечение множеств. 33
2.1.5. Произведение множеств. 34
2.1.6. Разность множеств. 35
2.1.7. Взаимно однозначное соответствие множеств. Эквивалентные множества. Мощность. 36
2.1.8. Счетные и несчетные множества. 37
Границы множества вещественных чисел. 37
Понятие об е-окрестности. 38
2.2. Функция 38
2.2.1. Функция и отображение (38). 38
2.2.2. График функции (39). 39
2.2.3. Основные характеристики числовых функций (41). 41
2.2.4. Арифметические операции на множестве числовых функций (42). 42
2.2.5. Понятие об образе и прообразе. Классификация отображений (43). 43
2.2.6. Понятие об обратной функции. Свойство биективной функции. Сужение функции. 44
2.2.7. Понятие о суперпозиции функций. 45
2.2.9. Параметрическое задание функции. 46
2.2.10. Элементарные функции. Классификация элементарных функций. 47
2.2.11. Показательная функция. 48
2.2.12. Логарифмическая функция. Связь с показательной функцией. 49
2.2.8. Явные и неявные функции. 50
Вопросы для повторения к главе 2 51
Упражнения к главе 2 52
Глава 3. Предел и непрерывность функции 54
3.1. Предел числовой последовательности 54
3.1.1. Числовая последовательность как функция натурального аргумента. 54
3.1.2. Предел числовой последовательности, геометрическое истолкование. 55
3.1.3. Теорема объединственности предела последовательности. 60
3.1.4. Монотонные последовательности. 60
3.1.5. Бесконечно малые последовательности. 64
3.1.6. Бесконечно большие последовательности и их связь с бесконечно малыми последовательностями. 67
3.1.7. Некоторые свойства пределов последовательностей. 69
3.2. Предел функции 76
3.2.1. Понятие предела функции. 76
3.2.2. Теоремы о существовании предела функции. 81
3.2.3. Замечательный предел и его следствия. 83
3.2.4. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. 85
3.3. Непрерывность функции 88
3.3.1. Определение непрерывности функции в точке; приращение аргумента и функции, типы разрывов. 88
3.3.2. Условие непрерывности сложной функции. 91
3.3.3. Некоторые свойства непрерывных функций. 93
Вопросы для повторения к главе 3 94
Упражнения к главе3 94
Ответы, указания и решения к главе 3 97
Глава 4. Производная. Дифференциал функции и его приложения 103
4.1. Производная 103
4.1.1. Производная, ее геометрический и механический смысл. 103
4.1.2. Связь между существованием производной и непрерывностью функции. 107
4.1.3. Производная постоянной величины. 108
4.1.4. Производная степенной функции. 110
4.1 5. Производная суммы, разности, произведения и частного двух функций. 110
4.1.6. Производная сложной функции. 111
4.1.7. Производная обратной функции. 113
4.1.8. Производная показательной и логарифмической функций. 113
4.1.9. Производная функции, заданной параметрически. 114
4.1.10. Производная неявной функции. 115
4.1.11. Производная второго порядка, ее механический смысл. Производные высших порядков. 116
4.2. Дифференциал 117
4.2.1. Дифференциал функции. 117
4.2.2. Геометрический смысл дифференциала. 117
4.2.3. Вычисление дифференциала. 118
4.3. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям 119
Абсолютная и относительная погрешности. 119
Вычисление приближенного значения приращения функции при помощи дифференциала. 121
4.3.3. Вычисление приближенного числового значения функции. 121
4.3.4. Вычисления по способу строгого" учета погрешностей. 122
4.3.5. Относительная погрешность произведения. 122
4.3.6. Относительная погрешность степени. 123
4.3.7. Относительная погрешность корня. 124
4.3.8. Относительная погрешность частного. 124
4.3.9. Приближенное вычисление степеней. 125
4.3.10. Приближенное вычисление корней. 125
4.3.11. Приближенное вычисление обратных величин. 125
4.3.12. Приближенное вычисление синусов и тангенсов малых углов. 126
4.3.13. Вычисление табличных разностей десятичных логарифмов. 127
4.3.14. Нахождение относительной погрешности числа при вычислении его по его десятичному логарифму. 127
Вопросы для повторения к главе 4 128
Упражнения к главе 4 129
Ответы, указания и решения к главе 4 130
Глава 5. Приложения производной к исследованию функций и построению графиков 131
5.1. Теоремы о среднем 131
О наименьшем и наибольшем значениях функции. 131
Экстремумы функции. 13
5.1.3. Теорема Ферма. 132
5.1.4. Теорема Ролля. 133
5.1.5. Теорема Лагранжа. 134
5.2. Применение производной для нахождения экстремумов функции 135
5.2.1. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции. 135
5.2.2. Достаточные условия существования экстремума. 136
5.2.3. Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции на замкнутом интервале. 139
5.3. Дальнейшее исследование поведения функций и построение графиков 139
5.3.1. Поведение функции в точках разрыва и на концах бесконечного «интервала Асимптоты. 139
5.3.2. Направление выпуклости графика функции; точки перегиба графика функции. 141
5.3.3. Общая схема исследования функции. 144
5.3.4. Задачи прикладного характера на нахождение наибольших и наименьших значений функции. 146
Вопросы для повторения к главе 5 148
Упражнения к главе 5 149
Ответы, указания и решения к главе 5 150
Глава 6. Определители и системы линейных уравнений. 151
6.1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными 151
Линейные уравнения с двумя неизвестными. 151
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, геометрическая интерпретация. 152
6.1.3. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 153
6.2. Определители второго порядка 155
Основные определения. Формулы Крамера. 155
Свойства определителей второго порядка. 156
6.3. Определители третьего и высших порядков и их приложения к системам линейных уравнений 158
6.3.1. Определители третьего порядка и формулы Крамера для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. 158
6.3.2. Разложение определителя третьего порядка по элементам какой-либо его строки или столбца. 160
Определители высших порядков. 162
6.3.4. Системы n линейных уравнений с n неизвестными. 162
6.3.5. Системы однородных линейных уравнений. 163
§ 6.4. Методы решения систем линейных уравнений 164
6.4.1. Метод Гаусса. 164
6.4.2. Метод простых итераций. 165
6.4.3. Краткие указания по использованию вычислительной техники для решения систем линейных уравнений. 166
Вопросы для повторения к главе 6 166
Упражнения к главе 6 167
Ответы, указания и решения к главе 6 169
Глава 7. Матрицы и их приложения к системам линейных уравнений 175
7.1. Матрицы и операции над ними 175
7.1.1. Основные определения. 175
7.1.2. Свойства операции умножения матриц. 177
7.1.3. Единичная матрица. 179
7.2. Квадратные матрицы 179
7.2.1. Вводные замечания. 179
7.2.2. Определитель квадратной матрицы. 180
7.2.3. Обратная матрица. 181
7.2.4. Решение системы n линейных уравнений с n неизвестными методом обратной матрицы. 184
§ 7.3. Системы m линейных уравнений с n неизвестными 186
7.3.1. Предварительные примеры. 186
7.3.2. Ранг матрицы. Условия разрешимости системы линейных уравнений с п неизвестными. 188
Вопросы для повторения к главе 7 190
Упражнения к главе 7 191
Ответы, указания и решения к главе 7 192
Глава 8. Прямые и плоскости в пространстве 196
8.1. Понятие о логической структуре евклидовой геометрии 196
8.1.1. Аксиоматический метод построения геометрии; основные аксиомы стереометрии. 196
8.1.2. Некоторые следствия основных аксиом. 199
8.2. Параллельность прямых и плоскостей 200
Взаимное положение прямых и плоскостей. 200
Признаки параллельности прямых и плоскостей. 201
§ 8.3. Перпендикулярность прямых и плоскостей 203
8.3.1. Признаки перпендикулярности прямом и плоскости. 203
8.3.2. Перпендикуляр и наклонная к плоскости (205). 205
Проекция прямой на плоскость; угол между прямыми, между прямой и плоскостью. 206
8.3.4. Теорема «о трех перпендикулярах». 208
8.4. Взаимное положение плоскостей 209
8.4.1. Угол между двумя плоскостями. 209
8.4.2. Признаки перпендикулярности плоскостей. 211
8.5. Двугранные, трехгранные и многогранные углы 212
8.6. Многогранники 214
8.6.1. Многогранник; элементы многогранника. 214
8.6.2. Призма. 215
8.6.3. Пирамида. 217
8.6.4. Простейшие свойства параллелепипеда. 220
8.6.5. Простейшие свойства пирамиды. 221
8.7. Объемы геометрических тел 223
8.7.1. Аксиомы объема. 223
8.7.2. Формулы для вычисления объемов некоторый тел. 224
Вопросы для повторения к главе 8 225
Упражнения к главе 8 226
Ответы, указания и решения к главе 8 229
Глава 9. Элементы векторной алгебры 234
9.1. Векторы и линейные операции над ними 234
9.1.1. Основные понятия. 234
9.1.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. 236
9.1.3. Проекция вектора на ось. Разложение вектора по заданным направлениям. 238
9.2. Векторы в декартовой системе координат 242
9.2.1. Декартова система координат в пространстве. Координаты вектора и их выражение через координаты его начала и конца. 242
9.2.2. Линейные операции над векторами в координатной форме записи. 244
9.2.3. Выражение длины вектора через его координаты и через координаты его начала и конца. Деление отрезка в заданном отношении. 245
9.2.4. Векторы на декартовой координатной плоскости. Понятие об m-мерных векторах. 247
9.3. Дальнейшие операции над векторами 248
9.3.1. Скалярное умножение векторов. 248
9.3.2. Векторное умножение векторов. 251
9.3.3. Смешанное произведение векторов. 254
9.3.4. Замечания о терминологии и обозначениях. 255
Вопросы для повторения к главе 9 256
Упражнения к главе 9 257
Ответы, указания и решения к главе 9 257
Глава 10. Тригонометрические функции 259
10.1. Тригонометрические функции числового аргумента и их простейшие свойства 259
10.1.1. Радианное измерение дуг и углов. 259
10.1.2. Обобщение понятия дуги (угла). 265
10.1.3. Определение тригонометрических функций числового аргумента. 268
10.1.4. Вычисление числовых значений тригонометрических функций для некоторых значений аргумента. 272
10.1.5. Изменение тригонометрических функций при возрастании Аргумент* от 0 до 2л. 274
10.1.0. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента 279
10.1.7. Четность и нечетность тригонометрических функций, их периодичность. 282
§ 10.2. Формулы приведения 286
Свойство половины периода косинуса и синуса. 286
Тригонометрические функции взаимно дополнительных аргументов. 287
10.2.3. Тригонометрические функции. 289
§ 10.3. Графики тригонометрических функций 293
10.3.1. Графики функций, 293
10.3.2. Графики функций. 295
§ 10.4. Обратные тригонометрические функции 297
10.4.1. Построение дуги (угла) по данным значениям синуса и косинуса. Функции. 297
10.4.2. Построение дуги (угла) по данным значениям тангенса и котангенса. Функции. 301
10.4.3. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. 303
10.5. Формулы сложения и их следствия 308
10.5.1. Тригонометрические функции суммы и разности двух аргументов. 308
10.5.2. Тригонометрические функции удвоенного и половинного аргументов. 311
10.5.3. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 316
10.5.4. Преобразование алгебраической суммы тригонометрических функций в произведение. 318
10.5.5. Решение примеров. 327
10.6. Непрерывность тригонометрических функций и их производные 327
10.6.1. Неравенство и его следствия. 327
10.6.2. Производные функции. 330
10.6.3. Производные обратных тригонометрических функций. 336
§ 10.7. Тригонометрическая форма комплексного числа. Показательная функция с комплексным показателем 337
Тригонометрическая форма комплексного числа. 338
Показательная функция с комплексным показателем. Формула Эйлера. 342
Вопросы для повторения к главе 10 343
Упражнения к главе 10 344
Ответы, указания и решения к главе 10 354
Глава 11. Прямые и плоскости в прямоугольной системе координат 359
11.1. Задание прямой линии на плоскости уравнениями в векторной и координатной форме 359
11.1.1. Уравнения прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении. 359
11.1.2. Общее уравнение прямой. 360
11.1.3. Специальные виды уравнения прямой в предположении, что В≠0. 361
11.1.4. Угол между двумя прямыми. Условия коллинеарности и перпендикулярности. 362
11.1.5. Примеры решения задач. 364
11.2. Задание плоскости уравнениями в векторной и координатной форме 364
11.2.1. Уравнения плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении. 365
11.2.2. Общее уравнение плоскости. 366
11.2.3. Примеры решения задач. 367
11.3. Задание прямой линии в пространстве 368
11.3.1. Векторно-параметрическое уравнение прямой и его следствия. 368
11.3.2. Примеры решения задач. 369
11.3.3. Задание прямой линии в пространстве как линии пересечения двух плоскостей. 371
Вопросы для повторения к главе 11 372
Упражнения к главе 11 373
Ответы, указания, и решения к главе 11 374
Глава 12. Кривые и поверхности второго порядка 375
12.1. Кривые второго порядка 375
12.1.1. Окружность. 375
12.1.2. Эллипс. 375
12.1.3. Гипербола. 377
12.1.4. Парабола. 382
12.1.5. Решение примеров. 383
12.2. Поверхности второго порядка 383
12.2.1. Эллипсоид. 383
12.2.2. Гиперболоиды. 385
12.2.3. Параболоиды. 387
12.2.4. Конусы второго порядка. 389
12.2.5. Цилиндры второго порядка. 390
Вопросы для повторения к главе 12 391
Упражнения к главе 12 391
Ответы, указания и решения к главе 12 392
Приложение. Таблицы некоторых элементарных функций 393