Предисловие. 3
Часть первая. Аналитическая геометрия.
Глава 1. Метод координат. 4
§ 1.1. Координаты на прямой. 4
§ 1.2. Перенос начальной точки. 5
§ 1.3. Расстояние между двумя точками оси. 5
§ 1.4. Деление отрезка оси в заданном отношении. 6
§ 1.5. Координаты на плоскости. 7
§ 1.6. Перенос начала координат. 8
§ 1.7. Расстояние точки от начала координат и расстояние между двумя точками. 9
§ 1.8. Деление отрезка в заданном отношении. 10
§ 1.9. Полярные координаты. 11
§ 1.10. Кривые на плоскости и их уравнения. 13
Глава 2. Прямая линия. 17
§ 2.1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. 17
§ 2.2. Общее уравнение прямой. 18
§ 2.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. 20
§ 2.4. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении. 22
§ 2.5. Пучок прямых. 23
§ 2.6. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнение прямой в отрезках. 25
§ 2.7. Расстояние от точки до прямой. 27
Глава 3. Кривые второго порядка. 29
§ 3.1. Окружность. 29
§ 3.2. Эллипс. 31
§ 3.3. Гипербола. 34
§ 3.4. Парабола. 33
§ 3.5. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. 40
§ 3.6. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы, оси симметрии которых параллельны осям координат. 41
§ 3.7. Поворот осей координат 48
§ 3.8. Уравнение равносторонней гиперболы, отнесенной к асимптотам. 49
§ 3.9. Исследование общего уравнения кривой второго Порядка. 51
Глава 4. Уравнения некоторых кривых в полярных 'координатах. Параметрическое задание кривых. 55
§ 4.1. Обобщение полярных координат. 55
§ 4.2. Спирали. 55
§ 4.3. Кардиоида. 57
§ 4.4. Параметрическое задание кривых. 58
§ 4.5. Циклоида и астроида. 59
Глава 5. Элементы теории определителей. 62
§ 5.1. Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители второго порядка. 62
§ 5.2. Свойства определителей второго порядка. 64
§. 5.3. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными в случае, когда определитель системы равен нулю. 65
§ 5.4. Определители третьего порядка и их свойства. 67
§ 5.5. Решение и исследование системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. 71
§ 5.6. Однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. 73
§ 5.7. Понятие об определителях произвольного порядка. 75
Г лава 6. Векторная алгебра. 77
§ 6.1. Понятие о вектора. 77
§ 6.2. Координаты в пространстве. 77
§ 6.3. Векторы и простейшие действия над ними. 79
§ 6.4. Разложение вектора по ортам. 87
§ 6.5. Скалярное произведение двух векторов. 91
§ 6.6. Векторное произведение двух векторов. 93
§ 6.7, Смешанное (векторно-скалярное) произведение трех векторов. 98
§ 6.8. Двойное векторное произведение грех векторов. 101
Глаза 7. Плоскость. Прямая в пространстве. 103
§ 7.1. Векторное и нормальное уравнения плоскости. 103
§ 7.2. Общее уравнение плоскости. 104
§ 7.3. Расстояние от точки до плоскости. 106
§ 7.4. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. 107
§ 7.5. Уравнение плоскости в отрезках. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору. Связка плоскостей. Уравнение плоскости, проходяшей через три заданные точки. 108
§ 7.6. Пучок плоскостей. 110
§ 7.7. Векторное уравнение прямой. Параметрические и канонические уравнения прямой. 111
§ 7.8. Угол между двумя прямыми; условия параллельности и перпендикулярности прямых. Угол между прямой и плоскостью; условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. 113
§ 7.9. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. 114
§ 7.10. Прямая как линия пересечения двух плоскостей; приведение ее уравнений к каноническому виду. 114
§7.11. Пересечение прямой с плоскостью. Условие нахождения прямой в плоскости. 117
§ 7.12. Условие компланарности двух прямых. 118
§ 7.13. О решении задач аналитической геометрии на плоскость и Прямую 119
Глава 8 Поверхности. Кривые в пространстве. 123
§ 8.1. Уравнения поверхностей и кривых. 123
§ 8.2. Сфера. 124
§ 8.3. Цилиндрические поверхности. 125
§ 8.4. Цилиндры второго порядка. 126
§ 8.5. Поверхности вращения. 128
§ 8.6. Поверхности вращения второго порядка. 129
§ 8.7. Канонические уравнения поверхностей второго порядка 131
§ 8.8. Гиперболический параболоид. 132
§ 8.9. Общее уравнение поверхности второго порядка; упрощение его в случае отсутствия членов с произведением координат. 134
§ 8.10. Пространственные кривые. 135
Глава 9. Понятие о матрицах и их применении. 138
§ 9.1. Матрицы. 138
§ 9.2. Основные операции матричной алгебры. 140
§ 9.3. Ранг матрицы. 14В
§ 9.4. Обратная матрица. 147.
§ 9.5. Преобразование координат в пространстве. 150
§ 9.6. Приведение квадратичной формы трех переменных к сумме квадратов (к каноническому виду). 153
§ 9.7. Упрощение уравнения поверхности второго порядка. 158
Часть вторая Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
Глава 10. Переменная величина. Функция. 165
§ 10.1. Действительные числа. 166
§ 10.2. Переменная величина. 170
§ 10.3. Функция. 172
§ 10.4: Основные способы задания функции. 174
§ 10.5. Обращение функциональной зависимости. Взаимно обратные функции. 177
§ 10.6. Наложение функциональных зависимостей. Сложная функция. 181
§ 10.7. Элементарные функции. 182
§ 10.8. Простейшие свойства и графики некоторых основных элементарных функций. 184
§ 10.9. Отыскание области определения элементарных функций 192
§ 10.10. Линейное преобразование аргумента функции и самой функции 193
Глава 11. Теория пределов. 196
§ 11.1 Бесконечная числовая последовательность и ее предел. 196
§ 11.2. Предел функции. 199
§ 11.3. Бесконечно малые величины. 203
§ 11.4. Связь между пределами и бесконечно малыми. 204
§ 11.5. Свойства бесконечно малых. 205
§ 11.6. Теоремы о пределах. 206
§ 11.7. Признаки существования предела. 211
§ 11.8. Бесконечно большие величины. 213
§ 11.9. Предел функции при бесконечно большом значении аргумента. 215
§ 11.10. Два замечательных предела. 216
§ 11.11. Сравнение бесконечно малых. 222
Г лава 12. Непрерывные функции. 228
§ 12.1. Определение непрерывности функции в точке. 229
§ 12.2. Односторонняя непрерывность в точке. Непрерывность функции в промежутке и на отрезке. 230
§ 12.3. Алгебраические действия над непрерывными функциями. 231
§ 12.4. Непрерывность сложной функции. Непрерывность обратной функции. 232
§ 12.5. Исследование непрерывности основных элементарных функций. 233
§ 12.6. Свойства непрерывных функций. 236
§ 12.7. Использование непрерывности функций при вычислении пределов. 239
§ 12.8. Точки разрыва функции. 241
Г лава 13. Производная и дифференциал функции. 246
§ 13.1. Определение производной. 246
§ 13.2. Непрерывность и дифференнируемостъ функции. 250
§ 13.3. Правила дифференцирования. 251
§ 13.4. Формулы дифференцирования основных элементарных функций. 256
§ 13.5. Примеры отыскания производных сложных функций. 262
§ 13.6. Дифференцирование неявных функций. 263
§ 13.7. Дифференцирование функций, заданных параметрически. 265
§ 13.8. Логарифмическое дифференцирование. 265
§ 13.9. Производные высших порядков. 266
§ 13.10. Производные высших порядков от неявных функций и от функций, заданных параметрически. 269
§ 13.11. Дифференциал функции. 270
§ 13.12. Дифференциалы высших порядков. 273
Глава 14. Применение производных к исследованию свойств функций. 275
§ 14.1. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. 275
§ 14.2. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. 277
§ 14.3. Правило Бернулли—Лопиталя для раскрытия неопределенностей. 282
§ 14.4. Формула Тейлора. 290
§ 14.5. Признаки возрастания, убывания и экстремума функции. 295
§ 14.6. Наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке. 301
§ 14.7. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. 303
§ 14.8. Асимптоты графика функции. 306
§ 14.9. Построение графика функции. 310
Глава 15. Геометрические приложения дифференциального исчисления. 315
§ 15.1. Касательная и нормаль к плоской кривой. 315
§ 15.2. Дифференциал- дуги плоской и пространственной кривой. 317
§ 15.3. Кривизна плоской кривой 319
§ 15.4. Векторная функция скалярного аргумента и ее дифференцирование. 323
§ 15.5. Кривизна пространственной кривой. Сопровождающий трехгранник. 328
§ 15.6. Вторая кривизна (кручёние) пространственной кривой. Формулы Серре—Френе. 329
§ 15.7. Уравнения касательной, главной нормали и бинормали пространственной кривой. Уравнения плоскостей сопровождающего трехгранника. 332
§ 15.8. Формулы для кривизны и кручения пространственной кривой, заданной равнением. 334
Глава 16. Приближенное решение уравнений. Интерполирование функций. 337
§ 16.1. Нахождение приближенных действительных корней уравнения. 337
§ 16.2. Методы уточнения приближенного корня. 339
§ 16.3. Примеры вычисления действительных корней. 347
§ 16.4. Интерполирование функций. 349
Часть третья Интегральное исчисление функций одной переменной.
Глава 17. Неопределенный интеграл. 355
§ 17.1. Первообразная. Неопределенный интеграл. 356
§ 17.2. Таблица интегралов и табличное интегрирование. 358
§ 17.3. Общие методы интегрирования. 362
§ 17.4. Интегрирование простейших рациональных дробей и простейших иррациональных выражений. 366
§ 17.5. Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей. 369
§ 17.6. Интегрирование рациональных дробей. 374
§ 17.7. Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций. 376
§ 17.8 Интегрирование некоторых алгебраических иррациональностей. 383
§ 17.9. Об интегралах, не выражающихся через элементарные функции. 387
Глава 18. Определенный интеграл. 389
§ 18.1. Некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. 389
§ 18.2. Определенный интеграл. 394
§ 18.3. Основные свойства определенного интеграла. 397
§ 18.4. Определенный интеграл с переменным пределом интегрирования. Формула Ньютона—Лейбница. 404
Глава 19. Вычисление определенного интеграла. 408
§ 19.1. Приемы вычисления определенного интеграла. 408
§ 19.2. Приближенное вычисление определенного интеграла. 414
§ 19.3. Графическое интегрирование. 423
Глава 20. Некоторые приложения определенного интеграла. 425
§ 20.1. Метод сумм. Метод отбрасывания бесконечно малых высших порядко. 425
§ 20.2. Вычисление площади фигуры 428
§ 20.3. Вычисление объема тела. 432
§ 20.4. Вычисление длины дуги. 436
§ 20.5. Вычисление площади поверхности вращения. 442
§ 20.6. Статический момент и центр тяжести системы материальных точек. 445
§ 20.7. Статические моменты и центр тяжести плоской дуги. 446
§ 20.8. Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры. 448
§ 20.9. Теоремы Гульдена. 451
Глава 21. Несобственные интегралы. 453
§ 21.1. Интеграл с бесконечными пределами. 453
§ 21.2. Интеграл от разрывной функции. 465
Предметный указатель. 470