Содержание
Введение 4
Глава 1. Классическая вероятностная схема 6
§ 1. Основные формулы комбинаторики 6
§2. Элементарная теория вероятностей 11
Глава 2. Геометрическая вероятность 18
§ 1. Определения и примеры 18
§2. Существование неизмеримых множеств 20
Глава 3. Аксиоматика теории вероятностей 22
§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий 22
§2. Мера и вероятностная мера 27
Глава 4. Условная вероятность, независимость 33
§ 1. Условная вероятность 33
§2. Независимость 34
§ 3. Формула полной вероятности 36
§4. Формула Байеса 37
Глава 5. СхемаБернулли 39
§ 1. Распределение числа успехов в испытаниях 39
§ 2. Номер первого успешного испытания 40
§ 3. Независимые испытания с несколькими исходами 41
§ 4. Приближение гипергеометрического распределения биномиальным 42
§ 5. Теорема Пуассона для схемы Бернулли 43
Глава 6. Случайные величины и их распределения 46
§ 1. Случайные величины 46
§2. Распределения случайных величин 49
§ 3. Функция распределения 53
§ 4. Примеры дискретных распределений 53
§ 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений 55
§ 6. Свойства функций распределения 59
§ 7. Свойства нормального распределения 63
Глава 7. Преобразования случайных величин 65
§ 1. Измеримость функций от случайных величин 65
§ 2. Распределения функций от случайных величин 66
Глава 8. Многомерные распределения 69
§ 1. Совместное распределение 69
§ 2. Типы многомерных распределений 70
§ 3. Примеры многомерных распределений 72
§4. Роль совместного распределения 73
§ 5. Независимость случайных величин 74
§ 6. Функции от двух случайных величин 76
§ 7. Примеры использования формулы свёртки 78
Глава 9. Числовые характеристики распределений 81
§ 1. Математическое ожидание случайной величины 81
§ 2. Свойства математического ожидания 82
§ 3. Дисперсия и моменты старших порядков 84
§4. Свойства дисперсии 86
§ 5. Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений 87
Глава 10. Числовые характеристики зависимости 91
§ 1. Ковариация двух случайных величин 91
§2. Коэффициент корреляции 93
§3. Свойства коэффициента корреляции 94
§4. Примеры 95
Глава И. Куда и как сходятся последовательности случайных величин 99
§1. Сходимости «почти наверное» и «по вероятности» 99
§2. Неравенства Чебышёва 104
§3. Законы больших чисел 106
§4. Примеры использования ЗБЧ Чебышёва 108
Глава 12. Центральная предельная теорема 110
§ 1. Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию? 110
§2. Слабая сходимость 111
§3. Центральная предельная теорема 114
§4. Предельная теорема Муавра — Лапласа 115
§5. Примеры использования ЦПТ 116
Глава 13. Характеристические функции 120
§1. Примеры вычисления 120
§ 2. Свойства характеристических функций 122
§3. Доказательство ЗБЧ Хинчина 125
§4. Доказательство центральной предельной теоремы 126
Приложение 127
Простые и непростые задачи 131
Предметный указатель 135
Литература 139