Пользователь: Пароль: .

Лекции по математическому анализу

Для возможности скачивать книги Вам необходимо пройти

Регистрацию

Лекции по математическому анализу


Автор: Архипов Г.И

Год: 1999

Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса. Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики.

Книга является учебником по курсу математического анализа и посвящена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса. Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углубленным изучением математики.

Кол-во страниц:646 Язык:Русский Издательство:Высш. шк.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
ЧАСТЬ /. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКНИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава I. ВВЕДЕНИЕ 7
Лекция 1
§ 1. Множества. Операции над множествами. Декартово произведение. Отображения. Функции 7
Лекция 2
§ 2. Эквивалентные множества. Счетные и несчетные множества. Мощность континуума 14
Лекция 3
§ 3. Вещественные числа 19
Лекция 4.
§ 4. Полнота множества вещественных чисел 23
§ 5. Леммы o6v отделимости множеств, о системе вло­женных отрезков и последовательности стягиваю­щихся отрезков 27
Глава II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 29
Лекция 5
§ 1. Метод математической индукции. Бином Ньютона и неравенство Бернулли 29
§ 2. Числовые последовательности. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свой­ства 33
Лекция б
§ 3. Предел последовательности 38
§ 4. Предельный переход в неравенствах 41
Лекция 7
§ 5. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса. Число "е" и постоянная Эйлера 45
Лекция 8
§ 6. Теорема Больцано - Вейерштрасса о существовании частичного предела у ограниченной последователь­ности 52
§ 7. Критерий Коши для сходимости последовательности 53
Глава III. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 55
Лекция 9
§ 1. Понятие предела числовой функции 55
§ 2. База множеств. Предел функции по базе 57
Лекция 10
§ 3. Свойство монотонности предела функции 63
§ 4. Критерий Коши существования предела функции
по базе 64
Лекция 11
§ 5. Эквивалентность определений сходимости по Коши и по Гейне 67
§ 6. Теоремы о пределе сложной функции 68
§ 7. Порядок бесконечно малой функции 72
Глава IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ 74
Лекция 12
§ 1. Свойства функций, непрерывных в точке 74
§ 2. Непрерывность элементарных функций 76
Лекция 13
§ 3. Замечательные пределы 79
§ 4. Непрерывность функции на множестве 82
Лекция 14
§ 5. Общие свойства функций, непрерывных на отрезке 90
Лекция 15
§6. Понятие равномерной непрерывности 93
§ 7. Свойства замкнутых и открытых множеств. Ком­пакт. Функции, непрерывные на компакте 94
Глава V. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 98
Лекция 16
§ 1. Приращение функции. Дифференциал и производ­ная функции 98
Лекция 17
§ 2. Дифференцирование сложной функции 103
§ 3. Правила дифференцирования 107
Лекция 18
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 109
§ 5. Возрастание и убывание функции в точке 115
Лекция 19
§6. Теоремы Ролля, Коши и Лагранжа 117
Лекция 20
§ 7. Следствия из теоремы Лагранжа 122
§ 8. Некоторые неравенства 123
§ 9. Производная функции, заданной параметрически 125
Лекция 21
§ 10. Раскрытие неопределенностей 126
Лекция 22
§11. Локальная формула Тейлора 132
§ 12. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме 137
Лекция 23
§ 13. Применение формулы Тейлора к некоторым функ­циям 141
Лекция 24
§ 14. Исследование функций с помощью производных. Экстремальные точки. Выпуклость 144
Лекция 25
§ 15. Точки перегиба 151
Лекция 26
§ 16. Интерполирование 157
Лекция 27
§ 17. Метрд хорд и метод касательных (метод Ньютона). Быстрые вычисления 160
Глава VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 166
Лекция 28
§ 1. Точная первообразная. Интегрируемые функции 166
Лекция 29
§ 2. Свойства неопределенного интеграла 169
Лекция 30
Дополнение. Обобщение понятия предела по Гейне на функции, сходящиеся по базе множеств 174
ЧАСТЬ II. ИНТЕГРАЛ РИМ АН А. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИС­ЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Глава VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ|183
Лекция 1
§ 1. Введение 183
§2. Определение интеграла Римана 184
Лекция 2
§3. Критерий интегрируемости функции по Риману 190
Лекция 3
§ 4. Эквивалентность трех условий интегрируемости функции по Риману 195
§ 5. Специальный критерий интегрируемости функции по Риману 196
§ 6. Метод интегральных сумм 200
Лекция 4
§ 7. Свойства интеграла Римана как предела по базе 204
§ 8. Классы функций, интегрируемых по Риману 209
Лекция 5
§ 9. Свойства определенного интеграла 212
§ 10. Аддитивность интеграла 217
Глава VIII. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕ­ГРАЛА РИМАНА 219
Лекция б
§ 1. Интеграл как функция верхнего (нижнего) предела интегрирования. Производная интеграла 219
§ 2. Теорема Ньютона - Лейбница. Формулы суммиро­вания Эйлера и Абеля 220
Лекция 7
§ 3. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле 225
§ 4. Первая и вторая теоремы о среднем значении 226
Лекция 8
§ 5. Формула Тейлора с остаточным членом в инте­гральной форме 233
§ 6. Неравенства, содержащие интегралы 239
Лекция 9
§ 7. Критерий Лебега интегрируемости функции по Ри­ману 241
§ 8. Доказательство критерия Лебега 242
Глава IX. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 246
Лекция 10
§ 1. Определение несобственных интегралов первого и второго рода 246
§ 2. Критерий Коши и достаточные условия сходимости несобственных интегралов 248
§ 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Признаки Абеля и Дирихле 249
Лекция 11
§ 4. Несобственные интегралы второго рода 253
§ 5. Формулы замены переменной и интегрирования по частям в несобственном интеграле 255
Глава X. ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ 257
Лекция 12
§ 1. Кривые в многомерном пространстве 257
§ 2. Теорема о длине дуги кривой 259
Глава XI. МЕРА ЖОРДАНА 262
Лекция 13
§ 1. Площадь плоской фигуры и объем пространствен­ного тела. Определение меры Жордана 262
§ 2. Критерий измеримости множества по Жордану 264
Лекция 14
§3. Свойства меры Жордана 267
§4. Измеримость спрямляемой кривой 269
§ 5. Связь между интегрируемостью функции по Риману и измеримостью по Жордану ее криволинейной трапеции 271
Глава XII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРА­ЛА ЛЕБЕГА. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА 275
Лекция 15
§ 1. Определение и свойства меры Лебега 275
Лекция 16
§ 2. Интеграл Лебега 282
Лекция 17
§ 3. Интеграл Стильтьеса 288
Глава XIII. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПО­ЛОГИИ. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 296
Лекция 18
§ 1. Определения 296
Лекция 19
§ 2. Хаусдорфовость метрического пространства в есте­ственной топологии 302
§ 3. Внутренние, внешние и граничные точки множества в метрическом пространстве 303
§ 4. Лемма о последовательности стягивающихся шаров. Принцип сжимающих отображений 306
Лекция 20
§ 5. Непрерывные отображения метрических пространств 308
§ 6. Понятие компакта. Компакты в Мп и полнота пространства Мп. Свойства непрерывных функций на компакте 309
§ 7. Связные множества и непрерывность 312
Глава XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 314
Лекция 21
§ 1. Непрерывные функции в Шп 314
§ 2. Дифференцируемые функции в Жп 317
Лекция 22
§ 3. Дифференцирование сложной функции 320
§ 4. Производная по направлению. Градиент 321
§ 5. Геометрический смысл дифференциала 323
Лекция 23
§ 6. Частные производные высших порядков 324
§ 7. Дифференциалы высших порядков. Формула Тей­лора 326
Лекция 24
§ 8. Приложение формулы Тейлора. Локальный экс­тремум функции многих переменных 330
§ 9. Неявные функции 332
Лекция 25
§ 10. Система неявных функций 337
§ 11. Условный экстремум функции многих переменных. 341 § 12. Дифференцируемые отображения. Матрица Якоби 344
ЧАСТЬ III ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ПАРАМЕТРИЧЕ­СКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Глава XV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 347
Лекция 1
§ 1. Основные свойства сходящихся рядов. Критерий Коши 347
Лекция 2
§ 2. Ряды с неотрицательными членами 355
Лекция 3
§ 3. Основные признаки сходимости для рядов с нео­трицательными членами 360
Лекция 4
§ 4. Абсолютная и условная сходимость рядов. Ряды Лейбница 368
§ 5. Признаки Абеля и Дирихле 370
Лекция 5
§ 6. Перестановки членов ряда 373
Лекция 6
§ 7. Арифметические операции над сходящимися рядами 376
Лекция 7
§ 8. Двойные и повторные ряды 381
Глава XVI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ­НОСТИ И РЯДЫ 388
Лекция 8
§ 1. Сходимость функционального ряда 388
§ 2. Равномерная сходимость 391
Лекция 9
§ 3. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности 394
§ 4. Признаки равномерной сходимости 396
Лекция 10
§ 5. Теорема Дини 401
§ 6. Почленное дифференцирование и интегрирование ряда 402
Лекция 11
§ 7. Двойные и повторные пределы по базе множеств 407
Лекция 12
§ 8. Степенные ряды 411
Лекция 13
§ 9. Бесконечные произведения 416
Лекция 14
§ 10. Бесконечные определители 422
$11. Равностепенная непрерывность и теорема Арцела 425
Глава XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРА­МЕТРА 428
Лекция 15
§ 1. Собственные параметрические интегралы и их не­прерывность 428
§ 2. Дифференцирование и интегрирование собственных параметрических интегралов 431
Лекция 16
§ 3. Теорема Лагранжа 436
Лекция 17
§ 4. Равномерная сходимость по Гейне 439
§ 5. Эквивалентность двух определений «равномерной сходимости 440
Лекция 18
§ 6. Равномерная сходимость несобственных параметри­ческих интегралов 444
Лекция 19
§ 7. Непрерывность, дифференцируемость и интегриру­емость по параметру несобственных интегралов — 449 Лекция 20
§ 8. Несобственные интегралы второго рода 456
§ 9. Применение теории параметрических интегралов 458
Лекция 21
§ 10. Интегралы Эйлера первого и второго рода 461
Лекция 22
§ 11. Формула Стирлинга 467
Глава XVIII. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 471
Лекция 23
§ 1. Представление дробной доли вещественного числа тригонометрическим рядом.Формула суммирования Пуассона. Суммы Гаусса 471
Лекция 24
§ 2. Неравенство Бесселя. Замкнутость и полнота ортонормированной системы функций 482
Лекция 25
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы функций 488
§ 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье 493
Лекция 26
§ 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана 497
§ 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье 501
Лекция 27
§ 7. Поведение коэффициентов Фурье 506
§ 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и пред­ставление синуса в виде бесконечного произведения 509
§ 9. Задача Кеплера и ряды Бесселя 511
Лекция 28
§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейер-штрасса 514
§ 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби 517
Лекция 29
§ 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье 522
Лекция 30
§ 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы 534
ЧАСТЬ IV. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТ­НЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 544
Лекция 1
§ 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе 544
§ 2. Суммы Дарбу и их свойства 547
Лекция 2
§ 3. Критерий Римана интегрируемости функции на пря­моугольнике 550
§ 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике 553
Лекция 3
§ 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криво­линейной фигуры 556
§ 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограничен­ной области, измеримой по Жордану 558
Лекция 4
§ 7. Основные свойства двойного интеграла 562
§ 8. Переход от двойного интеграла к повторному 564
§ 9. Интегрируемость непрерывной функции на измери­мом множестве 566
Лекция 5
§ 10. Многократные интегралы 568
§ 4. Простейшие свойства тригонометрических рядов Фурье 493
Лекция 26
§ 5. Интегральное представление для частичной суммы ряда Фурье. Принцип локализации Римана 497
§ 6. Признаки поточечной сходимости рядов Фурье 501
Лекция 27
§ 7. Поведение коэффициентов Фурье 506
§ 8. Разложение котангенса на простейшие дроби и пред­ставление синуса в виде бесконечного произведения 509
§ 9. Задача Кеплера и ряды Бесселя 511
Лекция 28
§ 10. Ядро Фейера и аппроксимационная теорема Вейер-штрасса 514
§ 11. Интеграл Дирихле и разложение на простейшие дроби 517
Лекция 29
§ 12. Преобразование Фурье и интеграл Фурье 522
Лекция 30
§ 13. Метод Лапласа и метод стационарной фазы 534
ЧАСТЬ IV. КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ПОВЕРХНОСТ­НЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Глава XIX. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 544
Лекция 1
§ 1. Двойной интеграл Римана как предел по базе 544
§ 2. Суммы Дарбу и их свойства 547
Лекция 2
§ 3. Критерий Римана интегрируемости функции на пря­моугольнике 550
§ 4. Специальный критерий интегрируемости функции на прямоугольнике 553
Лекция 3
§ 5. Измеримость по Жордану цилиндрической криво­линейной фигуры 556
§ 6. Понятие двойного интеграла Римана по ограничен­ной области, измеримой по Жордану 558
Лекция 4
§ 7. Основные свойства двойного интеграла 562
§ 8. Переход от двойного интеграла к повторному 564
§ 9. Интегрируемость непрерывной функции на измери­мом множестве 566
Лекция 5
§ 10. Многократные интегралы 568
§ 11. Свойства гладкого отображения на выпуклом мно­жестве 572
Лекция б
§ 12. Объем области в криволинейных координатах. Теорема о замене переменных в кратном интеграле 575
Лекция 7
§ 13. Критерий Лебега 584
Лекция S
§ 14. Несобственные кратные интегралы 588
Лекция 9
§ 15. Площадь поверхности 595
§ 16. Площадь m-мерной поверхности в евклидовом про­странстве и измерений 600
Глава XX. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 603
Лекция 10
§ 1. Криволинейные интегралы 603
§ 2. Свойства криволинейных интегралов 604
Лекция 11
§ 3. Криволинейные интегралы второго рода по замкну­тому контуру. Формула Грина 609
Лекция 12
§ 4. Поверхностные интегралы 614
§ 5. Согласование ориентации поверхности, и ее границы 618
Лекция 13
§ 6. Формула Стокса 622
§ 7. Формула Гаусса - Остроградского ... 624
Лекция 14
§ 8. Криволинейные интегралы, зависящие только от пределов интегрирования 630
§ 9. Элементы векторного анализа 633
Лекция 15
§ 10. Потенциальное и соленоидальное векторные поля 639
Глава XXI. ОБЩАЯ ФОРМУЛА СТОКСА 645
Лекция 16
§ 1. Понятие ориентированной многомерной поверхности 645
§ 2. Согласование ориентации поверхности и ее границы в общем случаев 647
§ 3. Дифференциальные формы 649
§ 4. Замена переменных в дифференциальной форме 649
Лекция 17
§ 5. Интеграл от дифференциальной формы 651
§ 6. Операция внешнего дифференцирования 654
§ 7. Доказательство общей формулы Стокса 656
Лекция 18
Дополнение. Равномерное распределение значений чи­словых последовательностей на отрезке 660
§ 1. Понятие равномерного распределения. Лемма об оценке коэффициентов Фурье 660
§ 2. Критерий Г. Вейля 664
Примерные вопросы и задачи к коллоквиумам и экза­менам 674
Литература 684

На портале ведуться технические работы, некоторые сервисы и страницы могут быть недоступны. Приносим свои извинения.