Математический анализ. Начальный Курс

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие титульного редактора 5

Предисловие ко второму изданию 6

Предисловие к первому изданию 6

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10

Г л а в а 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 29

§ 1. Множество чисел, представимых бесконечными десятичны­ми дробями, и его упорядочение 29

1. Свойства рациональных чисел (29). 2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси (31). 3. Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей (34)

§ 2. Ограниченные сверху (или снизу) множества чисел, пред­ставимых бесконечными десятичными дробями 40

1. Основные понятия (40). 2. Существование точных гра­ней (41).

§ 3. Приближение чисел, представимых бесконечными десятичны­ми дробями, рациональными числами 44

§ 4. Операции сложения и умножения. Описание множества ве­щественных чисел 46

1. Определение операций сложения и умножения. Описание понятия вещественных чисел (46). 2. Существование и един­ственность суммы и произведения вещественных чисел (47).

§ 5. Свойства вещественных чисел 50

1. Свойства вещественных чисел (50). 2. Некоторые часто употребляемые соотношения (52). 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел (52).

§ 6. Дополнительные вопросы теории вещественных чисел 54

1. Полнота множества вещественных чисел (54). 2. Аксио­матическое введение множества вещественных чисел (57).

§ 7. Элементы теории множеств 59

1. Понятие множества (59). 2. Операции над множествами (60). 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмен­та [0, 1]. Мощность множества (61). 4. Свойства операции над множествами. Отображение множеств (65).

Глава 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ 68

§ 1. Последовательность и ее предел 68

1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями (68). 2. Ограниченные, неограни­ченные, бесконечно малые и бесконечно большие последова­тельности (69). 3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (73). 4. Сходящиеся последовательности и их свойства (75).

§ 2. Монотонные последовательности 83

1. Понятие монотонной последовательности (83). 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности (84). 3. Число е (86). 4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей (88).

§ 3. Произвольные последовательности 92

1. Предельные точки, верхний и нижний пределы последо­вательности (92). 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов (99). 3. Критерий Коши схо­димости последовательности (102).

§ 4. Предел (или предельное значение) функции 105

1. Понятия переменной величины и функции (105). 2. Пре­дел функции по Гейне и по Коши (109). 3. Критерий Коши существования предела функции (115). 4. Арифметические операции над функциями, имеющими предел (118). 5. Бес­конечно малые и бесконечно большие функции (119).

§ 5. Общее определение предела функции по базе 122

Глава 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 127

§ 1. Понятие непрерывности функции 127

1. Определение непрерывности функции (127). 2. Арифмети­ческие операции над непрерывными функциями (131). 3. Сложная функция и ее непрерывность (132).

§ 2. Свойства монотонных функций 132

1. Монотонные функции (132). 2. Понятие обратной функции (133).

§ 3. Простейшие элементарные функции 138

1. Показательная функция (138). 2. Логарифмическая функ­ция (145). 3. Степенная функция (146). 4. Тригонометриче­ские функции (147). 5. Обратные тригонометрические функ­ции (154). 6. Гиперболические функции (156).

§ 4. Два замечательных предела 158

1. Первый замечательный предел (158). 2. Второй замеча­тельный предел (159).

§ 5. Точки разрыва функции и их классификация 162

1. Классификация точек разрыва функции (162). 2. О точках разрыва монотонной функции (166).

§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций . 167 1. Локальные свойства непрерывных функций (167). 2. Гло­бальные свойства непрерывных функций (170). 3. Понятие равномерной непрерывности функции (176). 4. Понятие мо­дуля непрерывности функции (181).

§ 7. Понятие компактности множества 184

1. Открытые и замкнутые множества (184). 2. О покрытиях множества системой открытых множеств (184). 3. Понятие компактности множества (186).

Г л а в а 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 189

§ 1. Понятие производной 189

1. Приращение функции. Разностная форма условия непре­рывности (189), 2. Определение производной (190). 3. Гео­метрический смысл производной (192).

§ 2. Понятие дифференцируемости функции 193

1. Определение дифференцируемости функции (193). 2. Дифференцируемость и непрерывность (195). 3. Понятие диффе­ренциала функции (196).

§ 3. Дифференцирование сложной функции и обратной функции 197

1. Дифференцирование сложной функции (197). 2. Диффе­ренцирование обратной функции (199). 3. Инвариантность формы первого дифференциала (200). 4. Применение дифференциала для установления приближенных формул (201)

§ 4. Дифференцирование суммы, ж разности, произведения и частного функций 202

§ 5. Производные простейших элементарных функций 205

1. Производные тригонометрических функций (205). 2. Производная логарифмической функции (207). 3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций (208), 4. Производная степенной функции (210). 5. Таблица производных простейших элементарных функций (210). 6. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций (212) 7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции (212).

§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков 213

1. Понятие производной п-то порядка (213). 2. n-е производные некоторых функций (214). 3. Формула Лейбница для п-й производной произведения двух функций (216). 4. Дифференциалы высших порядков (218).

§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически 220

§ 8. Производная векторной функции

Глава 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 224

§ 1. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум 224

§ 2. Теорема о нуле производной 226

§ 3. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) 227

§ 4. Некоторые следствия из формулы Лагранжа 229

1. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную (229). 2. Условия монотонности функции на интервале (230). 3. Отсутствие разрывов первого рода и уст ранимых разрывов у производной (231). 4. Вывод некоторых неравенств (233).

§ 5. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) 234

§ 6. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) 235

1. Раскрытие неопределенности вида -jp (235). Раскрытие

неопределенности вида (240). 3. Раскрытие неопределен­ностей других видов (243).

§ 7. Формула Тейлора 245

§ 8. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена 248

Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано (248).

Другая запись формулы Тейлора (250). 3. Формула Мак­лорена (251).

§ 9. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементар­ных функций 251

1. Оценка остаточного члена для произвольной: функции (251). 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых эле­ментарных функций (252).

§10. Примеры приложений формулы Маклорена 256.

1. Вычисление числа е на ЭВМ (256). 2. Доказательство ир­рациональности числа е (257). 3. Вычисление значений три­гонометрических функций (258). 4. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов (259).

Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ И ОТЫСКАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ 262

§ 1. Отыскание стационарных точек 262

1. Признаки монотонности функции (262). 2. Отыскание стационарных точек (262). 3. Первое достаточное условие экстремума (264). 4. Второе достаточное условие экстремума (265). 5. Третье достаточное условие экстремума (267). 6. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке (268). 7. Общая схема отыскания экстремумов (270).

§ 2. Выпуклость графика функции 271

§ 3. Точки перегиба 273

1. Определение точки перегиба. Необходимое условие пере­гиба (273). 2. Первое достаточное условие перегиба (276). 3. Некоторые обобщения первого достаточного условия пере­гиба (276). 4. Второе достаточное условие перегиба (277). 5. Третье достаточное условие перегиба (278).

§ 4. Асимптоты графика функции 279

§ 5. Построение графика функции 281

§ 6. Глобальные максимум и минимум функции на сегменте. Краевой экстремум 284

1. Отыскание максимального и минимального значений функ­ции, определенной на сегменте (284). 2. Краевой экстремум (286). 3. Теорема Дарбу (287). Дополнение. Алгоритм отыскания экстремальных значений функ­ции, использующий только значения этой функции 288

Глава 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИН­ТЕГРАЛ 291

§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 291 1. Понятие первообразной функции (291). 2. Неопределен­ный интеграл (292). 3. Основные свойства неопределенного интеграла (293). 4. Таблица основных неопределенных ин­тегралов (294).

§ 2. Основные методы интегрирования 297

Интегрирование замены переменной (подстановкой) (297).

Интегрирование по частям (300).

§ 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 303

1. Краткие сведения о комплексных числах (304). 2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов (307). 3. Раз­ложение алгебраического многочлена с вещественными коэф­фициентами на произведение неприводимых множителей (311),. 4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей (312). 5. Интегрируемость рацио­нальной дроби в элементарных функциях (318). 6. Интегри­руемость в элементарных функциях некоторых тригономет­рических и иррациональных выражений (321).

§ 4. Эллиптические интегралы 327

Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА 330

§ 1. Определение интеграла. Интегрируемость 330

§ 2. Верхние и нижние суммы и их свойства 334

1. Определение верхней и нижней сумм (334). 2. Основные свойства верхних и нижних сумм (335).

§ 3. Теоремы о необходимых и достаточных условиях интегриру­емости функций. Классы интегрируемых функций 339

Необходимые и достаточные условия интегрируемости (339).

Классы интегрируемых функций (341).

§ 4. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Тео­ремы о среднем значении 347

1. Свойства интеграла (347). 2. Оценки интегралов (350).

§ 5. Первообразная непрерывной функции. Правила интегрирова­ния функций 357

1. Первообразная (357). 2. Основная формула интегрально­го исчисления (359). 3. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы (360). 4. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме (362).

§ 6. Неравенство для сумм и интегралов 365

1. Неравенство Юнга (365). 2. Неравенство Гёльдера для сумм (366). 3. Неравенство Минковского для сумм (367). 4. Неравенство Гёльдера для интегралов (367). 5. Неравен­ство Минковского для интегралов (368).

§ 7. Дополнительные сведения об определенном интеграле Римана 369

Предел интегральных сумм по базису фильтра (369).

Критерий интегрируемости Лебега (370).

Дополнение 1. Несобственные интегралы 370

§ 1. Несобственные интегралы первого рода 371

Понятие несобственного интеграла первого рода (371).

Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости (373). 3. Аб­солютная и условная сходимость несобственных интегралов (375), 4. Замена переменных под знаком несобственного ин­теграла и формула интегрирования по частям (378).

§ 2. Несобственные интегралы второго рода 379

§ 3. Главное значение несобственного интеграла 382

Дополнение 2. Интеграл Стилтьеса 384

1. Определение интеграла Стилтьеса и условия его сущест­вования (384). 2. Свойства интеграла Стилтьеса (389).

Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 391

§ 1. Длина дуги кривой 391

1. Понятие простой кривой (391). 2. Понятие параметризуе­мой кривой (392). 3. Длина дуги кривой. Понятие спрямляе­мой кривой (394). 4. Критерий спрямляемости кривой. Вычис­ление длины дуги кривой (397) 5. Дифференциал дуги (402). 6. Примеры (403).

1§ 2. Площадь плоской фигуры 405

Понятие границы множества и плоской фигуры (405).

Площадь плоской фигуры (406). 3. Площадь криволинейной трапеции и криволинейного сектора (414). 4. Примеры вы­числения площадей (416).

§ 3. Объем тела в пространстве 418

1. Объем тела (418). 2. Некоторые классы кубируемых тел (419). 3. Примеры (421).

Глава 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИИ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 422

§ 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений 422

1. Метод «вилки» (422). 2. Метод итераций (423). 3. Методы хорд и касательных (426).

§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 431

1. Вводные замечания (431). 2. Метод прямоугольников (434).

Метод трапеций (436). 4. Метод парабол (438).

Глава 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 442

§ 1. Понятие функции т переменных 442

1. Понятие m-мерного координатного и m-мерного евклидова пространств (442). 2. Множества точек m-мерного евклидова пространства (445). 3. Понятие функции т переменных (449).

§ 2. Предел функции т переменных 451

1. Последовательности точек пространства Ет (451). 2. Свой­ство ограниченной последовательности точек Ет (454). 3. Предел функции т переменных (455). 4. Бесконечно ма­лые функции т переменных (458). 5. Повторные пределы (459).

§ 3. Непрерывность функции т переменных 460

Понятие непрерывности функции т переменных (460).

Непрерывность функции т переменных по одной перемен­ной (462). 3. Основные свойства непрерывных функций не­скольких переменных (465).

§ 4. Производные и дифференциалы функции нескольких пере­менных 469

1. Частные производные функции нескольких переменных (469). 2. Дифференцируемость функции нескольких перемен­ных (470). 3. Геометрический смысл условия дифференциру­емости функции двух переменных (473). 4. Достаточные ус­ловия дифференцируемости (474). 5. Дифференциал функции нескольких переменных (476). 6. Дифференцирование сложной функции (476). 7. Инвариантность формы первого дифферен­циала (480). 8. Производная по направлению. Градиент (481). § 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков. 485 1. Частные производные высших порядков (485). 2. Диффе­ренциалы высших порядков (490). 3. Формула Тейлора с ос­таточным членом в форме Лагранжа и в интегральной фор­ме (497). 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (500).

§ 6. Локальный экстремум функции т переменных 504

1. Понятие экстремума функции т переменных. Необходимые условия экстремума (504). 2. Достаточные условия локаль­ного экстремума функции т переменных (506). 3. Случай функции двух переменных (512). Дополнение 1. Градиентный метод поиска экстремума сильно вы­пуклой функции 514

1. Выпуклые множества и выпуклые функции (515). 2. Су­ществование минимума у сильно выпуклой функции и един­ственность минимума у строго выпуклой функции (521).

Поиск минимума сильно выпуклой функции (526). Дополнение 2. Метрические, нормированные пространства 535

Метрические дространства. 1. Определение метрического про­странства. Примеры (535). 2. Открытые и замкнутые множе­ства (538). 3. Прямое произведение метрических пространств (540). 4. Всюду плотные и совершенные множества (541). 5. Сходимость. Непрерывные отображения (543). 6. Ком­пактность (545). 7. Базис пространства (548).

Свойства метрических пространств 550

Топологические пространства 558

1. Определение топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Примеры (558). 2. Замечание о топологических пространствах (562).

Линейные нормированные пространства, линейные операторы 564

Определение линейного пространства. Примеры (564).

Нормированные пространства. Банаховы пространства.

Примеры (566). 3. Операторы в линейных и нормированных пространствах (568). 4. Пространство операторов (569). 5. Норма оператора (569). 6. Понятие гильбертова простран­ства (572).

Дополнение 3. Дифференциальное исчисление в линейных норми­рованных пространствах 574

Понятие дифференцируемости. Сильная и слабая дифференцируемость в линейных нормированных пространствах (575).

Формула Лагранжа конечных приращений (581).

Связь между слабой и сильной дифференцируемостью (584). 4. Дифференцируемость функционалов (587). 5. Ин­теграл от абстрактных функций (587). 6. Формула Ньюто­на—Лейбница для абстрактных функций (589). 7. Произ­водные второго порядка (592). 8. Отображение m-мерного евклидова пространства в п-мерное (595). 9. Производные и дифференциалы высших порядков (598). 10. Формула Тей­лора для отображения одного нормированного пространства в другое (599).

Исследование на экстремум функционалов в нормированных пространствах 602

1. Необходимое условие экстремума (602). 2. Достаточные ус­ловия экстремума (605).

Глава 13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 609

§ 1. Существование и дифференцируемость неявно заданной функ­ции 610

1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (610). 2. Вычисление частных производных неявно заданной функции (615). 3. Особые точки поверхности и плоской кривой (617). 4. Условия, обеспечивающие существо­вание для функции */ = /(*) обратной функции (618).

§ 2. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений 619

1. Теорема о разрешимости системы функциональных урав­нений (619). 2. Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений (624). 3. Взаимно однозначное отображение двух множеств m-мерного пространства (625).

§ 3. Зависимость функций 626

1. Понятие зависимости функций. Достаточное условие не­зависимости (626). 2. Функциональные матрицы и их при­ложения (628).

§ 4. Условный экстремум 632

1. Понятие условного экстремума (632). 2. Метод неопре­деленных множителей Лагранжа (635). 3. Достаточные условия (636). 4. Пример (637).

Дополнение 1. Отображения банаховых пространств. Аналог тео­ремы о неявной функции 638

1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (638). 2. Случай конечномерных пространств (644). 3. Особые точки поверхности в пространстве п измерений. Обратное отображение (647). 4. Условный экстремум в случае отображений нормированных пространств (651).