Пользователь: Пароль: .

Математический анализ. Продолжение курса

Для возможности скачивать книги Вам необходимо пройти

Регистрацию

Математический анализ. Продолжение курса


Автор: Ильин В. А.

Год: 1987

Учебник представляет собой вторую часть (ч. 1 — 1985 г.) курса математического анализа, написанного в соответствии с единой программой, принятой в СССР и НРБ. В книге рассмотрены теория числовых и функциональных рядов, теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, теория поля (включая дифференциальные формы), теория интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и интегралов Фурье. Особенность книги — три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, что позволяет использовать ее как студентам технических вузов с углубленным изучением математического анализа, так и студентам механико-математическиж факультетов университетов.

Учебник представляет собой вторую часть (ч. 1 — 1985 г.) курса математического анализа, написанного в соответствии с единой программой, принятой в СССР и НРБ. В книге рассмотрены теория числовых и функциональных рядов, теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, теория поля (включая дифференциальные формы), теория интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и интегралов Фурье. Особенность книги — три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, что позволяет использовать ее как студентам технических вузов с углубленным изучением математического анализа, так и студентам механико-математическиж факультетов университетов.

Кол-во страниц:358 Язык:Русский Издательство:МГУ

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 7
§ L Понятие числового ряда 7
1. Сходящиеся и расходящиеся ряды (7). 2. Критерий Коши сходи­мости ряда (10)
§ 2. Ряды с неотрицательными членами 12
1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрица­тельными членами (12). 2. Признаки сравнения (13). 3. Признаки Даламбера и Коши (16). 4. Интегральный признак Коши — Маклорена (21). 5, Признак Раабе (24). 6. Отсутствие универсального ряда сравнения (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды 28
1. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов (28). 2. О пе­рестановке членов условно сходящегося ряда (30). 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (33)
§ 4. Признаки сходимости произвольных рядов 35
§ 5. Арифметические операции над сходящимися рядами 41
§ 6. Бесконечные произведения 44
1. Основные понятия (44). 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов (47). 3. Разложение функции sinx в бесконеч­ное произведение (51)
§ 7. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов 55
1. Метод Чезаро (метод средних арифметических) (56). 2. Метод суммирования Пуассона — Абеля (57) § 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 67
§ 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на мно­жестве 67
1. Понятия функциональной последовательности и функционального ряда (67). 2. Сходимость функциональной последовательности (функ­ционального ряда) в точке и на множестве (69). 3. Равномерная сходимость на множестве (70). 4. Критерий Коши равномерной схо­димости последовательности (ряда) (72)
§ 2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов 74
§ 3. Почленный переход к пределу 83
§ 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функцио­нальных последовательностей и рядов 87
1. Почленное интегрирование (87). 2. Почленное дифференцирование (90). 3. Сходимость в среднем (94) § 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций 97
§ 6. Степенные ряды 102
1. Степенной ряд и область его сходимости (102). 2. Непрерывность суммы степенного ряда (105). 3. Почленное интегрирование и почлен­ное дифференцирование степенного ряда (105)
§ 7. Разложение функций в степенные ряды 107
1. Разложение функции в степенной ряд (107). 2. Разложение неко­торых элементарных функций в ряд Тейлора (108). 3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной (110). 4. Теоре­ма Вейершцрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 117
§ 1. Определение и условия существования двойного интеграла 117
Определение двойного интеграла для прямоугольника (117).
Условия существования двойного интеграла для прямоугольника (119). 3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области (121). 4. Общее определение двойного ин­теграла (123)
§ 2. Основные свойства двойного интеграла 127
§ 3.. Сведение двойного интеграла к повторному однократному 129
1. Случай прямоугольника (129). 2. Случай произвольной области (130)
§ 4. Тройные и гс-кратные интегралы |133
5. Замена переменных в я-кратном интеграле 138
§ 6. Вычисление объемов л-мерных тел 152
4 7. Теорема о почленном интегрировании функциональных последова­тельностей и рядов 157
$ 8. Кратные несобственные интегралы 159
1. Понятие кратных несобственных интегралов (159). 2, Два призна­ка сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функ­ций (160). 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций (161). 4. Главное значение кратных несобственных интегралов (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 167
<§ 1. Понятия криволинейных интегралов первого и второго рода 167
§ 2. Условия существования криволинейных интегралов 169
ГЛАВА 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 175
$ 1. Понятия поверхности и ее площади 175
1. Понятие поверхности (175). 2. Вспомогательные леммы (179).
Площадь поверхности (181)
§ 2. Поверхностные интегралы 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУ­ЛЫ АНАЛИЗА 190
§ 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты линейного опе­ратора 190
1. Обозначения (190). 2. Биортогональные базисы в пространстве Еп (191). 3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариант­ные координаты вектора (192). 4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор (195). 5. Выражения для дивергенции и рото­ра линейного оператора в ортонормированном базисе (1198)
§ 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы век­торного анализа 198
1. Скалярные и векторные поля (198). 2. Дивергенция, ротор и про­изводная по направлению векторного поля (203). 3. Некоторые дру­гие формулы векторного анализа (204). 4. Заключительные заме­чания (206)
§ 3. Основные интегральные формулы анализа 207
1. Формула Грина (207). 2. Формула Остроградского — Гаусса (211). 3. Формула Стокса (214)
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования 218
§ 5. Некоторые примеры приложений теории поля 222
1. Выражение площади плоской области через криволинейный ин­теграл (222). 2. Выражение объема через поверхностный интеграл (223)
Дополнение к главе 6. Дифференциальные формы в евклидовом про­странстве 225
§ Г. Знакопеременные полилинейные формы 225
1. Линейные формы (225). 2. Билинейные формы (226). 3. Полили­нейные формы (227). 4. Знакопеременные полилинейные формы (228). 5. Внешнее произведение знакопеременных форм (228). 6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм (231). 7. Базис в пространстве знакопеременных форм (233)
§ 2. Дифференциальные формы 235
1. Основные обозначения (235). 2. Внешний дифференциал (236). 3. Свойства внешнего дифференциала (237;)
§ 3. Дифференцируемые отображения 2394
1. Определение дифференцируемых отображений (239). 2. Свойства отображения (240)
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм 243
1. Определения (243). 2. Дифференцируемые цепи (245). 3. Форму­ла Стокса (248). 4. Примеры (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 252
§ 1. Равномерное по одной переменной стремление функции двух пере­менных к пределу по другой переменной 252
1. Связь равномерного по одной переменной стремления функции двух переменных к пределу по другой переменной с равномерной сходимостью функциональной последовательности (252). 2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной (254). 3. При­менения понятия равномерного стремления к предельной функ­ции (254)
§ 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра 256
1. Свойства интеграла, зависящего от параметра (256). 2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра (257)
§ 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 259
1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра (260). 2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от па­раметра (266)
§ 4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычис­лению некоторых несобственных интегралов 267
§ 5. Интегралы Эйлера 271
It Г-функция (2712). 2. В-функция (275). 3. Связь между эйлеровы­ми интегралами (277). 4. Примеры (279)
§ 6. Формула Стирлинга 280
§ 7. Кратные интегралы, зависящие от параметров 282
Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров (282).
Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (283)
ГЛАВА 8. РЯДЫ ФУРЬЕ 287
§ 1. Ортонормированные системы и общие ряды Фурье 287
1. Ортонормированные системы (287). 2. Понятие об общем ряде Фурье (292)
§ 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы 295
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 298
1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометриче­скими многочленами (298). 2. Доказательство замкнутости тригоно­метрической системы (301). 3. Следствия замкнутости тригонометри­ческой системы (303)
§ 4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного диффе­ренцирования тригонометрического ряда Фурье 304
1. Вводные замечания (304). 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье (306). 3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригономет­рического ряда Фурье (308)
§ 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходи­мости в данной точке 309
1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера (309). 2. Выра­жение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье (311). 3. Вспомогательные предложения (314). 4. Принцип локализации (317). 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера (319). 6. О сходимости тригономет­рического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции (325). 7. Сум­мируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических (329). 8. Заключительные замеча­ния (331)
§ 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье 332
1. Понятия кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямо­угольных и сферических частичных сумм (332). 2. Модуль непрерыв­ности и классы Гёльдера для функции N переменных (334). 3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье (335)
ГЛАВА 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 333
§ 1. Представление функции интегралом Фурье 339
1. Вспомогательные утверждения (340). 2. Основная теорема. Фор­мула обращения (342). 3. Примеры (347)
§ 2. Некоторые свойства преобразования Фурье 348
§ 3. Кратный интеграл Фурье 352