Введение 14
Часть Первая. Случайные события.
Глава первая. Основные понятия теории вероятностей. 17
Испытания и события. 17
Виды случайных событий. 17
Классическое определение вероятности. 18
Основные формы комбинаторики. 22
Примеры непосредственного вычисления вероятностей. 23
Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. 24
Ограниченность классического определения вероятности.
Статистическая вероятность. 26
Геометрические вероятности. 27
Задачи. 30
Глава вторая. Теорема сложения вероятностей. 31
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. 31
Полная группа событий. 33
Противоположные события. 34
Принцип практической невозможности маловероятных событий. 35
Задачи. 36
Глава третья. Теорем умножения вероятностей. 37
Произведение событий. 37
Условная вероятность. 37
§ 3 Теорема умножения вероятностей 38
Независимые события Теорема умножения для независимых событий. 40
Вероятность появления хотя бы одного события. 44
Задачи. 47
Глава четвертая Следствия теорем сложения и умножения. 48
Теорема сложения вероятностей совместных событий. 48
Формула полной вероятности. 50
Вероятность гипотез Формулы Бейеса. 52
Задачи. 53
Глава пятая Повторение испытаний. 55
Формула Бернулли 55
Локальная теорема Лапласа. 57
Интегральная теорема Лапласа. 59
Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях. 61
Задачи. 63
Часть Вторая. Случайные величины.
Глава шестая Виды случайных величин. Задание дискретной случайной величины. 64
Случайная величина. 64
Дискретные и непрерывные случайные величины. 65
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. 65
Биномиальное распределение. 66
Распределение Пуассона. 68
Простейший поток событий. 69
Геометрическое распределение. 72
Гипергеометрическое распределение. 73
Задачи. 74
Глава седьмая Математическое ожидание дискретной случайной величины. 75
Числовые характеристики дискретных случайных величин. 75
Математическое ожидание дискретной случайной величины. 76
Вероятностный смысл математического ожидания. 77
Свойства математического ожидания. 78
Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях. 83
Задачи. 84
Глава восьмая Дисперсия дискретной случайной величины. 85
Целесообразность введения числовой характеристики рассеяния случайной величины. 85
Отклонение случайной величины от ее математического ожидания. 86
Дисперсия дискретной случайной величины. 87
Формула для вычисления дисперсии. 89
Свойства дисперсии. 90
Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях. 92
Среднее квадратическое отклонение. 94
Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин. 95
Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины. 95
Начальные и центральные теоретические моменты. 98
Задачи. 100
Глава девятая Закон больших чисел. 101
Предварительные замечания. 101
Неравенство Чебышева. 101
Теорема Чебышева. 103
Сущность теоремы Чебышева. 106
Значение теоремы Чебышева для практики. 107
Теорема Бернулли. 108
Задачи. 110
Глава десятая Функция распределения вероятностей случайной.
Величины. 111
Определение функции распределения. 111
Свойства функции распределения. 112
График функции распределения. 114
Задачи. 115
Глава одиннадцатая Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. 116
Определение плотности распределения. 116
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал. 116
Нахождение функции распределения по известной плотности распределения. 118
Свойства плотности распределения. 119
Вероятностный смысл плотности распределения. 121
Закон равномерного распределения вероятностей. 122
Задачи. 124
Глава двенадцатая. Нормальное распредиление. 124
Числовые характеристики непрерывных случайных величин. 124
Нормальное распределение. 127
Нормальная кривая. 130
Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой. 131
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. 132
Вычисление вероятности заданного отклонения. 133
Правило трех сигм. 134
Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы. 135
Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс. 137
Функция одного случайного аргумента и ее распределение. 139
Математическое ожидание функции одного случайного аргумента. 141
Функция двух случайных аргументов. Распределение суммы независимых слагаемых. Устойчивость нормального распределения. 143
Распределение «хи квадрат». 145
Распределение Стьюдента. 146
Распределение F Фишера—Снедекора. 147
Задачи. 147
Глава тринадцатая. Показательное распределение. 149
Определение показательного распределения. 149
Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины. 150
Числовые характеристики показательного распределения. 151
Функция надежности. 152
Показательный закон надежности. 153
Характеристическое свойство показательного закона надежности. 154
Задачи 155
Глава четырнадцатая. Система двух случайных ветчин. 155
Понятие о системе нескольких случайных величин. 155
Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. 156
Функция распределения двумерной случайной величины. 158
Свойства функции распределения двумерной случайной величины. 159
Вероятность попадания случайной точки в полуполосу 161
Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник. 162
Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины (двумерная плотность вероятности). 163
Нахождение функции распределения системы по известной плотности распределения. 163
Вероятностный смысл двумерной плотности вероятности. 164
Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. 165
Свойства двумерной плотности вероятности. 167
Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины. 168
Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин. 169
Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин. 171
Условное математическое ожидание. 173
Зависимые и независимые случайные величины. 174
Числовые характеристики систем двух случайных величин.
Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 176
Коррелированность и зависимость случайных величин. 179
Нормальный закон распределения на плоскости. 181
Линейная регрессия. Прямые линии среднеквадратической регрессии. 182
Линейная корреляция. Нормальная корреляция. 184
Задачи. 185
Часть Третья. Элементы математической статистики.
Глава пятнадцатая. Выборочный метод. 187
Задачи математической статистики. 187
Краткая историческая справка. 188
Генеральная и выборочная совокупности. 188
Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. 189
Способы отбора 190
Статистическое распределение выборки. 192
Эмпирическая функция распределения. 192
Полигон и гистограмма. 194
Задачи. 196
Глава шестнадцатая Статистические оценки параметров распределения.
Статистические оценки параметров распределения. 197
Несмещенные, эффективные и состоятельные оценки. 198
Генеральная средняя. 199
Выборочная средняя. 200
Оценка генеральной средней по выборочной средней Устойчивость выборочных средних. 201
Групповая и общая средние. 203
Отклонение от общей средней и его свойство. 204
Генеральная дисперсия. 205
Выборочная дисперсия 206
Формула для вычисления дисперсии. 207
Групповая, внутри групповая. межгрупповая и общая дисперсии. 207
Сложение дисперсий. 210
Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной. 211
Точность опенки, доверительная вероятность (надежность) Доверительный интервал. 213
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при известной. 214
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной. 216
Оценка истинного значения измеряемой величины. 219
Доверительные интервалы для оценки среднего квадратического отклонения а нормального распределения. 220
Оценка точности измерений. 223
Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте. 224
Метод моментов для точечной оценки параметров распределения корреляционная зависимости. 253
Условные средние. 254
Выборочные уравнения регрессии. 254
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии по несгруппированиым данным. 255
Корреляционная таблица. 257
Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным. 259
Выборочный коэффициент корреляции. 261
Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции. 262
Пример на отыскание выборочного уравнения прямой линии регрессии. 267
Предварительные соображения к введению меры любой корреляционной связи. 268
Выборочное корреляционное отношение. 270
Свойства выборочного корреляционного отношения. 272
Корреляционное отношение как мера корреляционной связи Достоинства и недостатки этой меры. 274
Простейшие случаи криволинейнои корреляции. 275
Понятие о множественной корреляции. 276
Задачи. 278
Глава девятнадцатая Статистическая проверка статистических гипотез. 281
Статистическая гипотеза Нулевая и конкурирующая, простая и сложная гипотезы. 281
Ошибки первого и второго рода. 282
Статистический критерий проверки нулевой гипотезы Наблюдаемое значение критерия. 283
Критическая область. Область принятия гипотезы Критические точки. 284
Отыскание правосторонней критической области. 285
Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей. 286
Дополнительные сведения о выборе критической области Мощность критерия 287
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей. 288
Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности. 293
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (независимые выборки). 297
Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки). 303
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки). 305
Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности. 308
Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом. 312
Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних. 313
Пример на отыскание мощности критерия. 313
Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки). 314
Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотетической вероятностью появления события. 317
Сравнение двух вероятностей биномиальных распределений. 319
Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам различного объема Критерий Бартлетта. 322
Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных совокупностей по выборкам одинакового объема Критерий Кочрена. 325
Проверка гипотезы в значимости выборочного коэффициента корреляции. 327
Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Критерий согласия Пирсона. 329
Методика вычисления теоретических частот нормального распределения. 333
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена и проверка гипотезы о его значимости. 335
Выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла и проверка гипотезы о его значимости. 341
Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок. 343
Задачи. 346
Глава двадцатая Однофакторный дисперсионный анализ. 349
Сравнение нескольких средних Понятие о дисперсионном анализе. 349
Общая, факторная и остаточная суммы квадратов отклонений. 350
Связь между общей, факторной и остаточной суммами. 354
Общая, факторная и остаточная дисперси. 355
Сравнение нескольких средних методом дисперсионного анализа. 355
Неодинаковое число испытаний на различных уровнях. 358
Задачи. 361
Часть Четвертая. Метод монте-карло. цепи маркова.
Глава двадцать первая Моделирование (разыгрывание) случайных величин методом Монте-Карло. 363
Предмет метода Монте-Карло. 363
Оценка погрешности метода Монте-Карло. 364
Случайные числа 366
Разыгрывание дискретной случайной величины. 366
Разыгрывание противоположных событий. 368
Разыгрывание полной группы событий. 369
Разыгрывание непрерывной случайной величины Метод обратных функций. 371
§ 8 Метод суперпозиции 375
Приближенное разыгрывание нормальной случайной величины. 377
Задачи. 379
Глава двадцать вторая. Первоначальные сведения о цепях Маркова. 380
Цепь Маркова. 380
Однородная цепь Маркова Переходные вероятности Матрица перехода. 381
Равенство Маркова. 383
Задачи. 385
Часть Пятая. Случайные функции.
Глава двадцать третья Случайные функция. 386
Основные задачи. 386
Определение случайной функции. 386
Корреляционная теория случайных функций. 388
Математическое ожидание случайной функции. 390
Свойства математического ожидания случайной функции. 390
Дисперсия случайной функции. 391
Свойства дисперсии случайной функции. 392
Целесообразность введения корреляционной функции. 393
Корреляционная функция случайной функции. 394
Свойства корреляционной функции. 395
Нормированная корреляционная функция. 398
Взаимная корреляционная функция. 399
Свойства взаимной корреляционной функции 400
Нормированная взаимная корреляционная функция 401
Характеристики суммы случайных функций. 402
Производная случайной функции и ее характеристики. 405
Интеграл от случайной функции и его характеристики. 409
Комплексные случайные величины и их числовые характеристики. 413
Комплексные случайные функции и их характеристики. 415
Задачи. 417
Глава двадцать четвертая Стационарные случайные функции. 419
Определение стационарной случайной функции. 419
Свойства корреляционной функции стационарной случайной функции. 421
Нормированная корреляционная функция стационарной случайной функции. 421
Стационарно связанные случайные функции. 423
Корреляционная функция производной стационарной случайной функции. 424
Взаимная корреляционная функция стационарной случайной функции и ее производной. 425
Корреляционная функция интеграла от стационарной случайной функции. 426
Определение характеристик эргодических стационарных случайных функций из опыта. 428
Задачи. 430
Глава двадцать пятая Элементы спектральной теории стационарных случайных функций. 431
Представление стационарной случайной функции в виде гармонических колебаний со случайными амплитудами и случайными фазами. 431
Дискретный спектр стационарной случайной функции 435
Непрерывный спектр стационарной случайной функции. Спектральная плотность. 437
Нормированная спектральная плотность 441
Взаимная спектральная плотность стационарных и стационарно связанных случайных функций. 442
Дельта-функция. 443
Стационарный белый шум. 444
Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной динамической системой. 446
Задачи. 449
Дополнение. 451
Приложения. 461
Предметный указатель. 474